Suites géométriques, tout ce qu’il y a à savoir ! (3/4)

Voici le troisième article de la série sur les suites. Et cette fois on attaque un type de suite plus avancé : les suites géométriques. Là encore, je vais te montrer comment tu peux te les représenter et en quoi les suites géométriques sont parfaites pour devenir plus à l'aise avec tous les types de suites.

Si tu n'as pas encore lu les articles précédents de la série, je t'invite à le faire de suite : ici pour le premier et là pour celui sur les suites arithmétiques. Tu ne pourras pas profiter de cet article à 100% si tu n'as pas bien piger ce qu'il y a dans les deux autres !

Géométrique = Multiplications successives.

Comme je te le disais dans l'article précédent, la relation de récurrence est ce qui définit le type d'une suite, peu importe le terme initial. On va donc commencer par regarder à quoi ressemble la relation de récurrence d'une suite géométrique.

La relation de récurrence d'une suite géométrique.

Je ne vais pas être original en refaisant le même ‹‹ jeu ›› que pour les suites arithmétiques, mais c'est tellement simple vu comme ça que je crois que c'est important !

Si je te dis ‹‹ choisis un nombre au hasard ››. Et qu'ensuite je te dis ‹‹ Multiplie par 7. Combien obtiens-tu ? ››. Puis ‹‹ Multiplie par 7. Combien obtiens-tu ? ››. Et encore, ‹‹ Multiplie par 7. Combien obtiens-tu ? ››, etc. Tu vois qu'il n'y a rien de bien compliqué à faire cela. He bien, une suite géométrique, c'est exactement ça !

Le principe des suites géométriques... Pas plus compliqué que celui des suites arithmétiques 😀 ! (Merci Freepik)

Pour les suites géométriques, la relation de récurrence est donc aussi très simple : on multiplie toujours par le même nombre entre deux termes consécutifs. Autrement dit, u_{n+1} = u_n * r. Où r est un réel fixé qu'on appelle aussi la raison de la suite.

Au final, tu peux entièrement définir une suite géométrique à partir de son terme initial et de sa raison r puisque tu peux déduire la relation de récurrence directement à partir de la raison 🙂 !

Tu vois que j'ai appelé la raison r, alors qu'on l'appelle classiquement q. D'une part, tu pourrais l'appeler comme tu veux, on s'en fout, la seule chose importante c'est que c'est un réel fixé. D'autre part, en l'appelant r, comme je l'ai fait dans l'article sur les suites arithmétiques, tu vas pouvoir bien voir à quel point ces deux types de suites sont très proches.

Et donc, comment savoir si une suite est géométrique ?

Là encore, tu peux prendre le truc à l'envers pour trouver si une suite est géométrique ou non. Pour cela, il te suffit de calculer u_{n+1} / u_n est de voir si c'est constant ! Autrement dit, si ça ne dépend ni de n, ni d'un autre terme de la suite.

Si u_{n+1}/u_n = r où r est un réel, alors la suite est géométrique de raison r puisque ça veut dire que u_{n+1} = u_n * r ! A l'opposé, si u_{n+1} / u_n n'est pas égal à un chiffre, mais contient aussi n ou un terme de la suite, alors la suite n'est pas géométrique. Facile, non ?

Les propriétés des suites géométriques !

Puisque la relation de récurrence des suites géométriques est aussi très simple, on peut faire certains calculs ou déduire directement des propriétés alors que ce n'est pas toujours possible pour une suite générale. C'est pourquoi, dans ce qui suit je te donne les 3 points que tu dois avoir en tête dès que tu travailles avec une suite géométrique.

✩ Monotonie et convergence d'une suite géométrique, tous les cas.

Tout ne va pas être aussi simple qu'avec les suites arithmétiques ici, mais si tu as bien compris le principe de base des suites géométriques, ça devrait être assez naturel. Cette fois il y a 3 choses à prendre en compte : le signe du terme initial, le signe de la raison et la valeur absolue de la raison.

Et on va en plus en profiter pour parler de convergence, car contrairement aux suites arithmétiques qui divergent toutes (sauf pour r=0), les suites géométriques convergent dans certains cas.

Au lieu de faire des phrases incompréhensibles, je me suis dit que dessiner serait le mieux ! Toutes les situations possibles sont présentes dans le dessin ci-dessous. Et si tu ne dois te rappeler que d'une chose dans cet article, c'est cela 🙂 ! Tu remarqueras que je n'ai bien évidemment pas dessiné le cas r=0 qui n'a aucun intérêt...

(Clique sur l'image pour zoomer.)

Monotonie et convergence des suites géométriques selon la valeur de la raison r. Illustration avec 2 suites représentatives u_n de terme initial u_0 > 0 et v_n de terme initial v_0 < 0, 

Au final, tu vois quoi ? Qu'il n'y a en réalité que 3 comportements globaux possibles selon si la raison est plus grande que 1, vaut 1 ou est entre 0 et 1. Et que ce sont les mêmes comportements dans les cas similaires négatifs mais en alternant le signe des termes.

Si tu as bien compris d'où sortent ces 6 dessins et le fait qu'ils représentent tous les cas possibles, alors tu sauras les refaire très rapidement. Et surtout, tu auras toutes les informations de monotonie et de convergence des suites géométriques dans ta tête !

Si tu n'es pas encore convaincu que tout est dans ce dessin, prends le temps de choisir un terme initial positif et de regarder ce que ça fait quand tu le multiplies par une raison plus grande que 1 plusieurs fois d'affilée.

Et recommence avec des valeurs de raisons comprises dans tous les 5 autres intervalles que je donne ici. Tu verras que ces dessins regroupe absolument tout !

✩ Terme général d'une suite géométrique

Place au deuxième point important : savoir retrouver la formule qui te donne le terme général d'une suite géométrique.

Autrement dit, la formule qui te permet de calculer u_n sans avoir à calculer tous les termes précédents. Il faut donc une formule qui te donne u_n en fonction de n directement et qui ne fasse pas apparaitre d'autres termes de la suite.

  ➫ u_n en fonction de u_0

Encore une fois, la formule de récurrence simple va nous permettre de trouver facilement cette formule générale. Comment ? En écrivant u_1 en fonction de u_0, puis u_2 en fonction de u_0, etc. Ça va nous permettre de deviner la formule générale. Allons-y !

u_1 = u_0 * r = u_0 * r^1
u_2 = u_1 * r = (u_0 * r) * r = u_0 * r^2
u_3 = u_2 * r = (u_1 * r) * r = ((u_0 * r) * r) * r = u_0 * r^3

C'est bon pour toi ? Oui, on a bien u_n = u_0 * r^n. Donc maintenant, si tu connais le terme initial et la raison d'une suite géométrique, tu peux calculer n'importe quel terme de cette suite directement.

Note bien que cette façon de retrouver la formule est très simple. Et que tu pourrais faire ça en quelques secondes sur ton brouillon si jamais tu ne te rappelles pas de la formule le jour J !

  ➫ u_n en fonction de u_p

Un dernier truc, car parfois c'est utile de savoir calculer un terme en fonction d'un autre, sans utiliser le terme initial. Alors disons qu'on veut calculer u_n en fonction d'un certain u_p. Comment peut-on écrire un formule qui relie les deux ? En utilisant la formule générale 😉 :

u_n = u_0 * r^n
u_p = u_0 * r^p
u_n / u_p = (u_0 * r^n) / (u_0 * r^p) = r^{n-p}

Et maintenant qu'on a cette formule on peut la réécrire sous la forme : u_n = u_p * r^{n-p} ! C'est quand même plus simple que de devoir se rappeler par cœur des formules, non ? 

Tu vois que cette fois on a regardé u_n / u_p puisque les suites géométriques sont basées sur la multiplication. Et non u_n - u_p comme on l'avait fait pour les suites arithmétiques qui elles, sont basées sur l'addition.

✩ Somme des termes d'une suite géométrique

Troisième et dernier point à savoir : Comment calculer la somme de termes consécutifs d'une suite géométrique ? Là, c'est beaucoup moins simple et naturel que pour les suites arithmétiques.

Autrement dit, la somme de tous les termes d'une suite géométrique compris entre le rang p et le rang n (avec p<n), vaut : u_p * (1-r^{n-p+1}) / (1-r). En effet, il y a bien n-p+1 termes dans cette somme (l'explication est dans l'article sur les suites arithmétiques).

Comment te rappeler de cette formule ?

Je n'ai malheureusement pas de moyen mnémotechnique pour ça... La seule manière qui me semble la plus simple c'est de te rappeler comment on le démontre. Pas toute la démonstration mais les deux arguments utilisés, qui sont :

Ça fait pas rêver comme manière de s'en rappeler, mais si tu te rappelles de ça tu pourras retrouver la formule en quelques minutes. C'est toujours mieux que rien !

Le mot de la fin...

Bon, on va pas se mentir, y'a plus de boulot avec les suites géométriques qu'avec les suites arithmétiques. Mais au final, j'espère que j'ai su te montrer que les idées derrières sont les mêmes. C'est juste que les multiplications rendent les choses un peu plus complexes et plus subtiles.

Si tu as suivi tout ce que j'ai présenté dans cet article, tu devrais vraiment être à l'aise avec tous les types de suites puisque tu auras à faire le même travail que celui qu'on a fait là, mais avec des formules de récurrence différentes.

Prends le temps de télécharger et d'imprimer la Fiche Récap. Ça te permettra d'avoir tout ce que tu dois savoir sur les suites géométriques regroupé de façon compacte !

Dans le 4ème et dernier article de cette série, je vais t'expliquer comment démontrer par récurrence...

Alors, est-ce que les suites géométriques te paraissent moins dures après avoir lu cet article ? Qu'as-tu appris ? Et si tout n'est pas encore clair, qu'est-ce qui te gêne ?