Dans cette vidéo on va voir comment retrouver la densité de probabilité d’une loi uniforme.
La densité de probabilité.
Disons que X suit une loi uniforme continue sur [a,b]. La question c’est : quelle est sa densité de probabilité ? Alors la densité de probabilité c’est un grand mot, mais dans le cas d’une loi continue, c’est la fonction qui est sous l’intégrale quand on calcule les probabilités !
L’exemple de la loi continue.
Donc on sait que par exemple pour une loi continue, si on veut calculer p (X ∈ [c,d])… Eh bien ça va être l’intégrale entre c et d de f(x) dx, où f(x) ici c’est la densité de probabilité.
Comment retrouver la densité de probabilité d’une loi uniforme ?
Dans cette vidéo, ce que je veux te montrer c’est comment on retrouve la densité de probabilité qui correspond à une loi uniforme sur [a,b].
Et pour faire ça, on va utiliser quelque chose qu’on sait c’est que la probabilité de l’univers c’est 1. Ici l’univers, dans le cas qui nous intéresse, l’univers c’est le segment [a, b].
Les 2 idées derrière…
Or on sait que la probabilité de x appartenant à [a,b] c’est 1 ! Donc c’est comme ça qu’on va retrouver la densité de probabilité, d’accord ?
Ce qu’il faut te rappeler ici, l’univers c’est [a,b] puisque la loi uniforme. Elle est définie sur [a,b], donc la probabilité que x appartiendra à [a, b], c’est la probabilité du total, on est sûr que ce soit le cas. Donc ça c’est la première chose qu’on va utiliser.
La deuxième chose c’est que la loi uniforme, elle ne s’appelle pas uniforme pour rien ! « Uniforme » ça veut dire que tous les intervalles qui vont avoir la même longueur, vont avoir la même probabilité !
Donc ça, ça implique que la densité de proba, i.e. la fonction d’origine, elle est constante. Avec ces deux points là, eh bien on va pouvoir retrouver ce que vaut la constante.
Le calcul pour retrouver la densité de proba :
Donc ici, on va avoir intégral entre a et b de f(x) dx égal 1, qui équivaut, puisqu’on a dit que c’est une constante, entre a et b de k dx, donc k ça va être la constante qui nous intéresse, égal à 1.
Cette intégrale là, c’est k fois l’intégrale entre a et b de 1 dx. Donc là, il faut être un peu à l’aise avec les intégrales. Puisque c’est k fois, une primitive de x c’est 1, prise entre a et b, et donc ça nous donne k * (b – a) = 1.
Autrement dit, k = 1/ (b-a). Là, on retrouve la densité de probabilité d’une fonction uniforme d’une loi uniforme c’est f(x) = 1 / (b – a) dans le cas où la loi uniforme est définie sur l’intervalle [a,b].
Comprends bien ça :
Ce qui est important ici c’est plus de comprendre les deux choses que j’ai utilis. La première chose c’est la densité de proba : elle est constante, c’est la définition de la loi uniforme !
La loi uniforme te dit que tous les intervalles pris dans [a,b] qui ont la même longueur vont avoir la même probabilité.
Et la deuxième chose qu’il faut que tu te rappelles toujours : une probabilité c’est toujours compris entre 0 et 1. Et surtout la probabilité de l’univers c’est 1 !
Donc en utilisant ces deux choses là, ça nous dit que l’intégrale entre a et b de f(x) dx vaut 1. f(x) c’est une constante, donc on va l’appeler k, on la sort de l’intégrale, on regarde ce que vaut l’intégrale et on en déduit k = 1/(b-a).
Autrement dit la densité de probabilité d’une loi uniforme est 1/(b-a).
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