Dans cette vidéo, on va voir comment trouver les racines d’un polynôme de degré 2 dans l’ensemble des nombres complexes.
Le cadre !
On va prendre un polynôme de degré 2 sous la forme az^2 + bz +c = 0. Et ce qu’on cherche c’est les racines qui vérifient cette équation. Autrement dit, on a notre polynôme az^2 + bz +c, et on cherche les z qui vont annuler ce polynôme.
Rappel sur le discriminant ∆.
Donc ça, on sait très bien le faire dans les réels, on calcule Δ, etc. Donc Δ c’est b^2 – 4ac. On sait que si Δ est positif, eh bien il y a deux racines réelles qui appartiennent aux réels. Si Δ est nul, il y a une racine.
Le cas ∆<0… !
Et jusqu’ici, ce qu’on disait c’est si Δ est négatif, pas de racines. Eh bien en fait, c’est pas tout à fait vrai ! Parce qu’en fait il y a deux racines, mais elles sont complexes et conjuguées.
Les formules des racines.
La forme de ces racines va être très simple. Je te rappelle dans le cas ∆>0 c’est (-b ± √Δ)/2a, ça c’est les deux racines. Et si tu prends ∆=0 tu retombes sur la racine -b/2a.
La formule des racines d’un polynôme de degré 2 dans les nombres complexes
Ici c’est toujours la même formule pour le cas complexe. Donc dans le cas où delta est négatif, eh bien les racines c’est (-b ± √Δ)/2a. Tu vas me dire : bah c’est exactement la même formule !
Oui sauf que delta ici est négatif et que je suis en train de prendre la racine d’un nombre négatif ! Donc j’ai dit : c’est exactement la même formule dans le cas complexe.
La racine avec delta négatif ?
Dans le cas où delta est négatif, on va quand même regarder (-b ± √Δ)/2a. Le « problème » ici c’est racine d’un nombre négatif. Sauf qu’en fait, il faut te rappeler que i^2 = -1 !
Donc si delta est négatif, moins delta, il est positif. Donc maintenant, qu’est ce qu’on peut dire ? On peut dire que √Δ, eh bien c’est √(i^2 (-Δ)). -Δ est positif, i^2 on connaît ses racines puisque c’est un carré, donc racine de tout ça c’est bien racine de i^2, je vais mettre un peu de détails, √i^2 √-Δ.
La racine des multiplications c’est la multiplication des racines. Donc √i^2 eh bien c’est i puisque c’est un carré. i √-Δ. Donc qu’est ce que ça nous dit ?
Ça nous dit qu’on va avoir une première racine z1 qui va être (-b + i √-Δ)/2a et z2 qui est égal à -( b – i√-Δ)/2a. Puisque Δ est négatif, -Δ est positif, donc ici on peut bien prendre la racine d’un nombre réel positif !
Deux racines conjuguées ?
Donc là, on a deux racines et évidemment tu vois que si on les sépare un peu, alors ici ça veut dire que les racines c’est -b/2a ± i √-Δ/2a. Donc la partie réelle est ici, la partie imaginaire est ici.
Et il y en a une qui est avec un plus la partie imaginaire, l’autre qui est avec moins la partie imaginaire. Autrement dit le conjugué de Z1 est égal à Z2, ou bien conjugué de Z2 égal à Z1. Donc les deux racines sont complexes et conjuguées.
Surtout ne cherche pas à prendre des nouvelles formules qui sont ces formules-là ! Tu gardes en tête cette formule-là, tu vois que Δ est négatif et donc tu te rappelles comment on prend la racine d’un nombre négatif !
Pour prendre la racine d’un nombre négatif, on écrit ce nombre négatif comme i^2 fois un nombre positif. Donc i^2 * -Δ ici. Et après ça, tu sais prendre la racine de ça et tu arrives à i √ -Δ.
Voilà comment on trouve les racines d’un polynôme de degré 2 dans les nombres complexes.
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