Comment montrer que 2 vecteurs sont colinéaires grâce aux nombres complexes ?

Dans cette vidéo on va voir comment montrer que 2 vecteurs sont colinéaires grâce aux nombres complexes.

Le cadre

Ici, on va prendre un vecteur u et un vecteur v, et on associer l’affixe z au vecteur u, et l’affixe z’ au vecteur v, d’accord ? Donc si z, on l’écrit x +iy, tu vois que le vecteur u c’est rien d’autre que (x y).

De la même façon, si z’ c’est x’+iy’, en fait le vecteur v c’est rien d’autre que (x’ y’). Donc que je le note sous forme complexe ou sous forme de coordonnées, ça représente exactement la même chose.

Rappel sur la colinéarité.

Maintenant ce qu’on veut c’est u et v colinéaires. Colinéaires ça veut dire quoi ? Ça veut dire qu’il existe k appartenant aux réels, ça c’est juste une notation, c’est pas important, tel que u=k*v. Donc u=k*v, qu’est ce que ça nous dit ?

Je vais l’écrire ici, ça veut dire que (x y) = k * (x’ y’). Donc ça ce n’est rien d’autre que dire que (x y) c’est aussi (kx’ ky’), d’accord ? Mais si ça c’est vrai, si ça c’est vrai, alors qu’est ce qu’on va pouvoir dire ?

On va pouvoir dire que x+iy, puisque x c’est kx’, ça va être kx’+iky’, mais dans ce cas on peut factoriser par k. ça va faire k(x’+iy’). Attention, là je suis toujours dans le cas où c’est déjà colinéaire.

Si on sait que c’est colinéaire, on a cette égalité là, et cette égalité c’est rien d’autre que z = k*z’. Donc si c’est colinéaire, alors on a ça !

Montrer que 2 vecteurs sont colinéaires grâce nombres complexes.

En fait j’ai été dans un sens, mais on peut aller dans l’autre ! Si on a z= k*z’, alors on a x+iy = k(x’+iy’). Donc on a cette chose-là , et cette chose là. Autrement dit, on a des équivalences.

Je résume : si tu te rappelles ce que ça veut dire colinéaire, c’est à dire qu’il existe un réel tel que le premier vecteur serait égal à ce réel fois le deuxième vecteur, eh bien en fait, t’as exactement la même chose avec les complexes.

Donc si tu arrives à montrer que z est égal à k*z’, tu pourras dire que les vecteurs qui sont liés aux affixes z et z’, sont colinéaires.

Comment le montrer dans les exercices ?

Alors ici, plusieurs façons de faire ça : Soit tu le vois et tu factorises directement !

Soit tu regardes la division de l’un par l’autre, évidemment il faut qu’il y’en ait un qui ne soit pas 0. Mais si c’est zéro c’est pas très intéressant de toute manière !

En gros, tu vas diviser z par z’ et tu vas calculer ce que ça vaut. Et le but c’est d’arriver de montrer que ça appartient aux reéls ! Si t’arrives à montrer que z/z’ appartient aux réels, tes deux vecteurs seront colinéaires.

Je parle bien des vecteurs associés aux affixes z et z’. Ici, z/z’, ça doit être un réel, ça peut être un réel positif comme un réel négatif, peu importe.

Remarque sur l’argument de (z/z’)

Juste je te fais remarquer ici que, te dire que z/z’ appartient aux réels, ça te dit que l’argument de z/z’ qui est par définition argument de z moins argument de z’, qui est donc en fait l’angle entre les deux vecteurs, eh bien il est égal à 0 [π] d’accord ?

Parce que si z/z’ est un réel, ça veut dire qu’on est sur l’axe des abscisses. Et si on est sur l’axe des abscisses, l’argument de ce nombre complexe, c’est soit 0, soit π. Donc on est bien à 0 [π] !

Parce qu’il est possible que tu vois en cours que pour montrer que deux vecteurs sont colinéaires, il faut montrer que l’angle entre les deux est 0 ou π, donc 0 [π].

Eh bien ça revient exactement à dire que Z/Z’ est un réel. Et c’est souvent plus simple que d’aller calculer l’argument où il va falloir que tu te rappelles de cette formule, de l’angle auquel ça correspond argument de z moins argument de z’, tout ça c’est un peu compliqué.

Le plus simple c’est de montrer que z=k*z’, avec k qui appartient aux réels. Voilà comment tu peux montrer que deux vecteurs sont colinéaires grâce aux nombres complexes.

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