Dans cette vidéo, on va voir quelle limite permet de déduire que la courbe d’une fonction admet une asymptote verticale.
Qu’est-ce qu’une Asymptote Verticale ?
Ici, on va regarder courbe et asymptote verticale, d’accord ? ASV, asymptote verticale. Et pour savoir ce que ça veut dire, on va tracer une courbe et une asymptote.
Alors l’asymptote, je vais dessiner ça comme ça, verticale, c’est simplement ça, donc ça c’est une droite qui est d’équation x=a, et a c’est cette chose-là.
Et donc cette droite x=a ici, verticale, va être une asymptote pour la courbe si la fonction vient se coller le long de cette courbe et tendre vers plus ou moins l’infini !
Si par exemple, on a la courbe de la fonction f qui fait quelque chose comme ça, puis de l’autre côté, elle fait quelque chose comme ça. Tu vois qu’ici, la courbe de la fonction f, elle vient tendre vers plus l’infini à droite de x=a et vers moins l’infini de ce côté-là.
Ça signifie déjà une chose : c’est que f n’est pas définie en a ! Typiquement c’est ce qui va se passer quand on va diviser par zéro. C’est à dire que ce que tu as au dénominateur quand x tend vers a, tend vers zéro. C’est typiquement ce qui va se passer : d’un côté on va tendre vers plus l’infini, de l’autre on va tendre vers moins l’infini.
Le lien entre Limite et Asymptote Verticale.
Et donc en fait, tu vois que la courbe si on la regardait de plus loin, ça ferait quelque chose comme ça, et puis qui part de très très haut comme ça et puis voilà. Aussi, tu aurais une droite au milieu qui serait l’asymptote.
Autrement dit, ta courbe, elle vient de descendre vers moins l’infini d’un côté, monter vers plus l’infini de l’autre. Donc ça c’est une asymptote verticale, cette droite rouge ici, ASV.
Et ce que tu peux voir ici c’est que la limite de la fonction bleu ici, c’est plus ou moins l’infini à droite et à gauche. Donc en fait, quelle limite va te permettre de dire que la courbe admet une asymptote verticale ? Eh bien c’est limite quand x tend vers a de f(x) égal plus ou moins l’infini.
Remarque sur le domaine de définition.
Attention parce que x tend vers a, alors si la courbe n’est pas définie d’un côté, eh bien ok, pas de problème. Typiquement le ln(x), elle est positive. Donc quand x tend vers zéro, ln(x) tend vers moins l’infini, donc x=0 est une asymptote verticale de la fonction ln en 0.
Maintenant, si tu as deux cas, eh bien il faut regarder x plus grand que a et x plus petit que a. Il peut y avoir deux cas comme ici par exemple. Donc si la limite de f(x) quand x tend vers a, est égale à plus ou moins l’infini, eh bien Cf admet une asymptote verticale d’équation x=a, d’accord ?
Le x=a c’est parce que la limite elle est quand x tend vers a. Ce qui est important c’est qu’il faut que tu sois plus l’infini. Ici on a la fonction f c’est pour ça que c’est Cf.
Au final, l’asymptote verticale est directement liée à une limite en un point. C’est ça qui est important : x tend vers a, a étant un point. Et l’équation de l’asymptote ça va être x égal a si la limite de la fonction quand x tend vers a, est égale à plus ou moins l’infini.
Voilà comment tu peux savoir si la courbe représentative d’une fonction admet ou non une asymptote verticale. Il faut que la limite de la fonction en ce point soit plus ou moins l’infini.
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