Suites arithmétiques, tout ce qu’il y a à savoir ! (2/4)

Voici le deuxième article de la série sur les suites. Et on commence par le type de suite le plus simple : les suites arithmétiques. Je vais te montrer comment tu peux te les représenter et pourquoi les suites arithmétiques sont un bon point de départ pour comprendre tous les types de suites.

Si tu n'as pas encore lu le premier article de la série, fais-le maintenant car j'y parle des notions de base que tu dois bien avoir assimilées pour comprendre les suites. Ça va te prendre 5 minutes et ça va grandement t'aider !

Arithmétique ? Ajouter, encore et encore.

Qu'est-ce qui définit le type d'une suite ?

Si tu as lu le premier article, tu sais qu'une suite est définie par deux choses seulement. Premièrement, son terme initial et deuxièmement sa relation de récurrence. Or le terme initial n'est que le point de départ mais ne te dit rien sur comment on passe d'un terme au suivant ! Donc ce qui définit le type d'une suite est sa relation de récurrence.

La relation de récurrence d'une suite arithmétique.

Commençons par un petit jeu ! Si je te dis ‹‹ choisis un nombre au hasard ››. Et qu'ensuite je te dis ‹‹ Ajoute 3. Combien obtiens-tu ? ››. Puis ‹‹ Ajoute 3. Combien obtiens-tu ? ››. Et encore, ‹‹ Ajoute 3. Combien obtiens-tu ? ››, etc. Tu vois que tu sauras faire ça facilement. He bien, j'ai une bonne nouvelle : une suite arithmétique, c'est exactement ça !

Le principe des suites arithmétiques... Simple et énervant 😀 ! (Merci Freepik)

Pour les suites arithmétiques, la relation de récurrence est donc très simple : on ajoute toujours le même nombre entre deux termes consécutifs. Autrement dit, u_{n+1} = u_n + r. Où r est un réel fixé qu'on appelle la raison de la suite.

Au final, tu peux entièrement définir une suite arithmétique à partir de son terme initial et de sa raison r puisque tu peux déduire la relation de récurrence directement à partir de la raison 🙂 !

Et donc, comment savoir si une suite est arithmétique ?

Maintenant si tu prends le truc à l'envers, ça te permet de trouver si une suite est arithmétique ou non. Pour cela, il te suffit de calculer u_{n+1} - u_n est de voir si c'est constant ! Autrement dit, si ça ne dépend ni de n, ni d'un autre terme de la suite.

Si u_{n+1} - u_n = r où r est un réel, alors la suite est arithmétique de raison r puisque ça veut dire que u_{n+1} = u_n + r !

A l'opposé, si u_{n+1} - u_n n'est pas égal à un chiffre alors la suite n'est pas arithmétique.

Les propriétés des suites arithmétiques !

La simplicité de la relation de récurrence des suites arithmétiques permet de faire certains calculs ou de déduire directement des propriétés alors que ce n'est pas toujours possible pour une suite générale. Dans ce qui suit je te donne les 3 points que tu dois avoir en tête dès que tu travailles avec une suite arithmétique.

✩ Croissance ou décroissance d'une suite arithmétique

Quel que soit le terme initial de la suite, tu vois que si tu ajoutes toujours 5, puis 5, puis 5, puis... (oui je sais, tu as compris !) le chiffre que tu obtiens est toujours plus grand. Autrement dit, la suite est croissante. 

De la même façon, si cette fois tu soustrais toujours 3, la suite que tu crées est décroissante. Remarque bien que même si la relation de récurrence est u_{n+1} = u_n + r, si tu choisis r=-3, tu soustrais bien 3 entre chaque terme consécutifs 😉

Ce qu'on vient de voir sur 2 exemples est toujours vrai ! Si r est positif la suite arithmétique de raison r est croissante (quel que soit le terme initial !). Et si r est négatif la suite arithmétique de raison r est décroissante (toujours quel que soit le terme initial). Pratique !

Au cas où, tu ne serais pas convaincu, fais ce petit exercice. Prends un brouillon, choisis un terme initial et une raison positive. Et calcule les termes de la suite arithmétique correspondante, tu vas bien voir que u_1 est plus grand que u_0, u_2 plus grand que u_1, etc.

✩ Terme général d'une suite arithmétique

Le deuxième point important est de savoir retrouver la formule qui te donne le terme général d'une suite arithmétique. C'est à dire, la formule qui te permet de calculer u_n sans avoir à calculer tous les termes précédents. Il faut donc une formule qui te donne u_n en fonction de n directement et qui ne fasse pas apparaitre d'autres termes de la suite.

  ➫ u_n en fonction de u_0

Encore une fois, la formule de récurrence simple va nous permettre de trouver facilement cette formule générale. Comment ? En écrivant u_1 en fonction de u_0, puis u_2 en fonction de u_0, etc. Ça va nous permettre de deviner la formule générale. Allons-y !

u_1 = u_0 + r = u_0 + 1r
u_2 = u_1 + r = (u_0 + r) +r = u_0 + 2r
u_3 = u_2 + r = (u_1 + r) +r = ((u_0+r)+r) +r = u_0 + 3r

Est-ce que tu as deviné ? Oui, c'est bien u_n = u_0 + n*r. Donc maintenant, si tu connais le terme initial et la raison d'une suite arithmétique, tu peux calculer n'importe quel terme de cette suite directement.

Note bien que cette façon de retrouver la formule est très simple. Et que tu pourrais faire ça en quelques secondes sur ton brouillon si jamais tu ne te rappelles pas de la formule le jour J !

  ➫ u_n en fonction de u_p

Un dernier truc, car parfois c'est utile de savoir calculer un terme en fonction d'un autre, sans utiliser le terme initial. Alors disons qu'on veut calculer u_n en fonction d'un certain u_p. Comment peut-on écrire un formule qui relie les deux ? En utilisant la formule générale 😉 :

u_n = u_0 + n*r
u_p = u_0 + p*r
u_n - u_p = (u_0 + n*r) - (u_0 + p*r) = (n-p)*r

Et maintenant qu'on a cette formule on peut la réécrire sous la forme : u_n = u_p+ (n-p)*r ! C'est quand même plus simple que de devoir se rappeler par cœur des formules, non ?

✩ Somme des termes d'une suite arithmétique

Troisième et dernier point à savoir : Comment calculer la somme de termes consécutifs d'une suite arithmétique ? Pour une fois, je crois que le plus rapide est de se rappeler de la formule qui n'est pas trop complexe :

(nombre de termes dans la somme)*(premier terme + dernier terme)/2.

Autrement dit, la somme de tous les termes d'une suite arithmétique compris entre le rang p et le rang n (avec p<n), vaut : (n-p+1)*(u_p+u_n)/2. En effet, il y a bien n-p+1 termes dans cette somme.

Si tu ne te rappelles pas la formule pour le nombre de termes, fais comme moi prends un exemple ! Par exemple, combien de termes y a-t-il dans la somme de u_2 à u_5 ? Il y a u_2, u_3, u_4 et u_5, donc 4 termes. Et tu vois que 5-2 fait 3, donc il y a bien 5-2+1 termes dans cette somme. Soit n-p+1 termes pour la formule générale.

Visualise la formule pour mieux t'en rappeler !

Alors comment on peut s'en rappeler autrement qu'en apprenant une formule par cœur ? En dessinant !

Moyen visuel de se rappeler de la formule pour la somme des termes consécutifs d'une suite arithmétique.

Si tu dessines les termes consécutifs d'une suite arithmétique dans un diagramme en barres, tu vois qu'ils forment un escalier dont la hauteur des marches est toujours la même. C'est normal, puisque il y a toujours le même écart, r, entre deux termes consécutifs.

Maintenant, si tu traces une ligne qui représente la moyenne entre le premier et le dernier terme, tu vois que tout ce qui est au-dessus de la moyenne, vient combler ce qu'il manque sous la moyenne. Au final, la somme vaut bien la moyenne multipliée par le nombre de termes de la suite ! C'est très graphique, si t'as une mémoire visuelle, tu devrais t'en rappeler facilement 🙂

Le mot de la fin...

Crois-moi si tu ne doutes jamais sur tout ce que je viens de te détailler, tu vas être très à l'aise avec les suites arithmétiques et ça t'aidera grandement pour tous les types de suites !

Comme d'habitude, tu retrouves tous les points importants de cet article de manière compacte dans Fiche Récap. Je t'y ai aussi mis une autre manière de te rappeler de la formule de la somme qui me parle encore plus personnellement !

Dans le 3ème article de la série, je décortique les suites géométriques de la même façon !

Alors, est-ce que les suites arithmétiques te paraissent moins dures après avoir lu cet article ? Qu'as-tu appris ? Et si tout n'est pas encore clair, qu'est-ce qui te gêne ?