Avec cet article, je me suis mis un défi : Te faire comprendre la trigonométrie en moins de 10 minutes ! Pourquoi ? Parce que la trigonométrie, ou trigo pour les intimes, paraît toujours hyper compliquée avec ses formules nombreuses et difficiles à retenir, ses π qui trainent partout et ses radians bizarres.
Alors qu'en fait c'est quelque chose de super concret ! Et qu'il n'est pas difficile de comprendre la trigonométrie si on a bien en tête la signification géométrique des outils. C'est ce que je vais te démontrer dans cet article !
Comprendre la trigonométrie ? Une histoire d'angle.
Commençons par la base, pour comprendre la trigonométrie il faut déjà bien voir ce qu'est un angle. Es-tu sûr que c'est bien le cas ?
Au fait, c'est quoi un angle ?
Alors, c'est quoi un angle ? Si je te dis que c'est la partie du plan qui est définie par deux demi-droites dont les points de départ sont superposés, t'en dis quoi ? C'est pourtant la définition 😉
Ok, on sait tous bien ce qu'est un angle, mais ce n'est pas si facile à décrire ! On pourrait dire que c'est l'écart entre deux droites qui se croisent. Et que mesurer un angle, c'est mesurer cet écart. Comment tu définirais un angle toi ?
En réalité, la première définition que j'ai donnée est la bonne, et si tu y réfléchis, elle est pas mal. Pour faire apparaitre un angle, il te faut 2 demi-droites dont les extrémités se touchent.
Quand tu dessines ça dans le plan, tu vois que ça découpe le plan en deux parties : ce qu'il y a entre les 2 demi-droites et le reste. Eh bien ce qu'il y a entre les 2 demi-droites est une définition propre de l'angle. Je t'ai fait un dessin juste après !
360 degrés, 2π radians et autres.
Maintenant on veut pouvoir mesurer cet angle. Pour cela, on pourrait choisir autant d'unités que l'on veut, non ? De la même façon que tu pèses 70kg en France et 154,3 pounds aux US, un angle peut faire 180° ou π radians. Mais il existe encore d'autres unités de mesure, regarde par ici par exemple, et on pourrait en inventer autant qu'on veut.
Les deux les plus utilisés et que tu connais déjà sont :
- le Degré, noté ° : un jour quelqu'un a décidé de diviser le plan en 360 secteurs angulaires équivalents, ça a donné la mesure d'1° !
- le Radian, noté rad : un tour complet correspond à 2π radians. Pourquoi ? Parce que le périmètre d'un cercle de rayon 1 est 2π ! Donc quand tu mesures un angle en radians, tu mesures en fait la distance que cet angle délimite sur le cercle de rayon 1.
En fait, qu'est ce qu'on mesure vraiment ? On mesure la proportion du plan qui est délimitée par l'angle selon la définition propre que j'ai donnée plus haut. Mais ne t'inquiète pas trop de ces définitions compliquées. Si tu dois retenir un truc de ce que je viens de dire, retiens ce que représente les mesures d'angles en radians !
Triangle rectangle, cosinus et sinus.
La première fois que tu as vu et essayé de comprendre la trigonométrie, c'était avec le triangle rectangle. Et ce n'est pas pour rien ! Car la vie est plus simple dans un triangle rectangle... (comme je te l'explique dans Du Béton Sous les Tongs)
La vie de tous les jours dans un triangle rectangle.
Il n'y a qu'un truc à bien savoir faire dans le triangle rectangle, c'est trouver l'hypoténuse. Heureusement, c'est pas bien compliqué : c'est le côté le plus long 🙂 ! D'ailleurs c'est le seul coté qui se nomme toujours pareil, contrairement aux côtés adjacent et opposé qui eux dépendent de l'angle que tu regardes.
Que dire de plus sur le triangle rectangle ? Il y a un angle qui est toujours là, son angle droit. Donc ça te laisse deux angles et deux côtés à savoir nommer. Comment tu fais ça ?
Eh bien pour chacun de ces deux angles, le côté qui ne touche pas l'angle est le côté opposé. Puisque tu connais maintenant l'hypoténuse et le côté opposé, le dernier côté est le côté adjacent ! Attention, ce sont les côtés opposé et adjacent de l'angle que tu regardes.
Sais-tu que le triangle rectangle fais partie des bases dont je parle dans l'ebook ‹‹ Comment Booster Tes Notes dès le Prochain DS ›› que tu peux télécharger gratuitement ? Découvre les 5 principes ici !
Cosinus, sinus, tangente... tout ça pour ça !
Bon ensuite on t'a parlé de sinus, cosinus et tangente. Et c'est vrai que sans comprendre ça, ça va être difficile de bien comprendre la trigonométrie. Alors que sont ces trucs ? Un chiffre en lien avec l'angle sans aucun lien avec la réalité ? Non !
Cosinus et sinus sont simplement deux chiffres qui caractérisent un angle. Chaque angle a sa propre valeur de cosinus et sinus. Autrement dit, si on te donne une valeur de cosinus et une valeur de sinus, ça définit un seul angle. C'est un peu comme les empreintes digitales de l'angle si tu veux...
Et contrairement à ce qu'on croit souvent, ces valeurs ne sortent pas du chapeau ! Prends un plan et trace une demi-droite qui part de l'origine et qui fait un angle Ɵ avec l'axe des abscisses.
Maintenant tu places le point sur cette demi-droit qui est à une distance 1 de l'origine. Eh bien, le cosinus est l'abscisse de ce point et le sinus son ordonné ! Comme tu le vois sur le dessin ci-dessus, ça n'a rien de magique...
Et dire de la tangente ? Que c'est le résultat de la division du sinus par le cosinus, rien d'autre !
Retour dans le triangle rectangle.
Enfin, tu remarqueras que la situation dans laquelle on se retrouve pour chaque angle dans le cercle trigo est un triangle rectangle dont l'hypoténuse mesure 1. C'est ce qui explique que cos²(x)+sin²(x) = 1 par application du théorème de Pythagore.
Et en cherchant un peu plus, tu pourras retrouver SOH-CAH-TOA (prononcé socatoa) : Sinus=Opposé/Hypoténuse, Cosinus=Adjacent/Hypoténuse et Tangente=Opposé/Adjacent...
Le cercle trigo est ton meilleur ami pour bien comprendre la trigonométrie !
Et ce que je viens de te dire est la raison d'être du fameux cercle trigo. C'est certainement l'arme la plus puissante pour comprendre la trigonométrie et retrouver tout ce qu'il te faut pour assurer !
Pourquoi et comment le cercle trigo ?
Reprenons la définition que je t'ai donnée de sinus et cosinus. Ce sont l'abscisse et l'ordonné du point qui est à une distance 1 de l'origine. Et comment on trace tous les points à une distance 1 de l'origine ? Eh oui en traçant un cercle de rayon 1 ! Ce qui explique pourquoi c'est la base de notre cercle trigo...
Et d'ailleurs, puisque l'abscisse du point est le cosinus et son ordonné le sinus, tu peux déjà voir qu'on va lire le cosinus d'un angle sur l'axe des abscisses et le sinus sur celui des ordonnés. Tout prend du sens, non ?
Est-ce qu'il y a besoin de savoir quelque chose de plus pour dessiner le cercle trigo ? Non !
Retrouver les cosinus et sinus des angles courants en 2 secondes !
Certainement que tu as remarqué qu'on travaille plutôt avec des angles en radians au lycée. Et une des raisons c'est qu'il existe des valeurs ‹‹ propres ›› de sinus et cosinus pour certaines valeurs d'angles en radians.
D'ailleurs il faut que tu les connaisses, mais pas de panique : il y a 3 valeurs de cos/sin à retenir et à savoir placer. Et ces trois valeurs, qui correspondent à 3 angles, te permettent d'en déduire plein d'autres !
Les 3 valeurs de sinus ou cosinus à retenir sont 1/2 (=0.5), √2/2 (≈0.707) et √3/2 (≈0.866). Et elles sont utiles pour les angles suivants : π/6 (=30°), π/4 (=45°) et π/3 (=60°). Mais comment tu retiens quelle valeur va avec quel angle ? Tu dessines !
Comme tu peux le voir, je n'ai dessiné que le quart en haut à gauche du cercle trigo sur la figure de gauche. Mais si tu sais retrouver les angles dans celui-là (et c'est le plus simple), tu sauras retrouver le reste, comme je te le montre dans la figure de droite.
Dessine un cercle trigo complet en 3 étapes simples :
Voici les 3 étapes que tu dois suivre pour arriver au dessin que j'ai fait juste au-dessus :
- Dessine les 2 axes et le quart de cercle et note ‹‹ cosinus ›› sur l'axe des abscisses et ‹‹ sinus ›› sur celui des ordonnées. C'est sur ces axes que tu liras les valeurs ! N'oublie pas de mettre les valeurs x=1 et y=1...
- Trace les demi-droites correspondantes aux 3 angles. Pour π/4, c'est la moitié de l'angle droit, facile. Ensuite π/6 c'est un tiers de l'angle droit, donc c'est l'angle plus petit que π/4. Enfin pour π/3, c'est 2/3 de l'angle droit donc tu le places au-dessus de π/4 à la même distance que π/6.
- Tu finis avec les droites en pointillés sur mon dessin pour aller lire les cosinus et sinus, et surtout tu places les 3 valeurs ! C'est la même chose sur les 2 axes : celle qui est la plus proche de l'origine c'est 1/2 et ensuite c'est logique, tu as √2/2 et √3/2 dans cet ordre. (Puisque √2 > √3 ! Je t'ai mis les valeurs approchées plus haut)
Et là, tu as tout ce dont tu as besoin ! En effet, tu vois tout de suite que le cos(π/3) = 1/2 et sin(π/3) = √3/2 par exemple. J'en ai pas parlé, mais il faut bien voir que pour l'angle nul, tu as cos(0)=1 et sin(0)=0. Et de la même façon pour l'angle droit cos(π/2)=0 et sin(π/2)=1 !
Enfin, si tu veux des angles qui ne sont pas dans ce quart là, tu fais tout par symétrie et tu n'oublies pas de mettre les bons signes 😉 ! Ca te permet de voir aussi graphiquement que sin(-x)=-sin(x), cos(-x)=cos(x) et les autres...
Et si tu n'apprenais que 2 formules...
Pour comprendre la trigonométrie au point de savoir résoudre les exercices, il faut malheureusement aussi apprendre quelques formules. Et si t'essaies de retenir toutes celles qu'on te donne... bonne chance !
Les 2 formules qui engendrent toutes les autres.
Je vais t'aider un peu... car ma phobie du par-cœur fait des miracles comme toujours 🙂 ! Voilà donc les 2 formules que tu dois connaitre pour retrouver toutes celles dont tu auras besoin :
- sin(A±B) = sin(A)cos(B) ± sin(B)cos(A) : pour t'en rappeler, dis-toi que le ‹‹ sinus est sympa ›› et que donc il conserve le même signe. Autrement dit, si tu as un + à gauche, tu auras un + à droite !
- cos(A±B) = cos(A)cos(B) ∓ sin(A)sin(B) : cette fois, rappelle-toi que le ‹‹ cosinus est un con ›› et qu'il inverse les signes. Autrement dit, si tu as un + à gauche, tu auras un - à droite !
Tu auras remarqué que le premier terme de la somme de droite des 2 premières formules contient toujours cos(B) et qu'il est multiplié par sin(A) quand tu regardes sin(A±B) et par cos(A) quand tu regardes cos(A±B). Ça devrait suffire pour t'en rappeler, non ?
Du coup, comment tu peux retrouver les autres...
T'as peut-être l'impression que je t'ai arnaqué là ? Eh bien non, pas du tout ! Je te donne ci-dessous comment retrouver les autres, et je t'invite à le faire en exercice. Si tu n'y arrives pas, viens me poser tes questions sur Twitter, Facebook ou dans les commentaires, je t'aiderais.
- cos(2A) et sin(2A) : il suffit de mettre B=A dans les formules sin(A+B) et cos(A+B) !
- cos(A±π/2), cos(A±π), sin(A±π/2) et sin(A±π) : remplace B par π/2 ou π et cos(B), sin(B) par leurs valeurs qui sont 0 ou 1 pour π et π/2.
- tan(A±B) = (tan(A) ± tan(B)) / (1∓tan(A)tan(B)) : écris que tan(A±B) = sin(A±B)/cos(A±B) et factorise le dénominateur par cos(A)cos(B). Après quelques calculs tu y seras. Mais rassure-toi, celle là je ne l'ai jamais utilisé !
- cos(A)cos(B) = (cos(A+B)+cos(A-B))/2 et tous les autres qui lui ressemblent : super facile 😉 !
- Et je pourrais en mettre encore plein... Si tu connais ces deux-là, tu peux toutes les retrouver !
Comment t'en sortir à tous les coups ?
Pour conclure cet article, je voudrais que tu comprennes une chose : si tu as bien suivi ce que j'ai dit, tu ne dois retenir que 2 trucs pour comprendre la trigonométrie et assurer en DS.
Premièrement, tu dois savoir dessiner le cercle trigo et y lire les angles et leurs sinus/cosinus. Deuxièmement tu dois connaitre les 2 formules que je t'ai données et savoir retrouver les autres au besoin. C'est tout !
Evidemment je n'ai pas abordé tout ce que tu as pu voir en trigo, mais ce que je te répète, c'est que si tu as ce que je viens de te détailler en tête, tout le reste est simple !
C'est d'ailleurs la philosophie que je partage avec toi dans l'ebook que je t'offre et dans le programme en vidéo qui va te permettre de Maitriser les Bases en Maths !
Donc la prochaine fois que t'as un exo de trigo à faire, tu sais ce qu'il te reste à faire sur ton brouillon avant de commencer quoi que ce soit 😉 !
Ai-je gagné mon défi ? Est-ce que les 10 minutes que tu as pris pour lire cet article t'ont fait comprendre la trigonométrie ? J'attends tes retours !
Au plaisir de t'aider à réussir,
Steven
Cher Steven,
Un grand merci pour ces explications et pour avoir pris la peine et le temps de les partager. C’est d’une grande pour moi qui me charge du home-schooling de mon fils! Merci pour la boone humeur qui parcourt le texte et l’enthousiasme – la trigo est un ensemble de connaissances fascinant et j’ai grand plaisir à le faire découvrir à mon garçon d’une façon qui éveille sa curiosité. Merci encore pour ce résumé brillant, concret et pratique et une excellente journée!
Merci pour ce message =) !
Bonjour, merci à vous pour ce très bon article, je ne comprends pas très bien ici : « Enfin, tu remarqueras que la situation dans laquelle on se retrouve pour chaque angle dans le cercle trigo est un triangle rectangle dont l’hypoténuse mesure 1. C’est ce qui explique que cos²(x)+sin²(x) = 1 par application du théorème de Pythagore. », j’aimerais bien plus d’explications étape par étape… Quel lien entre le théorème de Pythagore et le cosinus et le sinus ?
Salut,
Si tu regardes l’image qui est juste au-dessus de cette phrase, j’y ai dessiné 2 traits rouges : la valeur du cosinus est la distance entre l’origine et le point rouge sur l’axe des abscisses et la valeur du sinus est la distance entre l’origine et le point rouge sur l’axe des ordonnées. La distance en vert sur le dessin vaut 1 et peut être vue comme le rayon du cercle trigonométrique.
A partir de là, si tu prends l’origine, le point rouge représentant le cosinus sur l’axe des abscisses et le point rouge sur la demi-droite qui définit l’angle, tu définis un triangle rectangle dont l’hypoténuse vaut 1, le côté vertical vaut sinus(theta) et le côté horizontal vaut cosinus(theta) ! Et donc tu peux appliquer Pythagore par exemple pour retrouver cos²(x)+sin²(x) = 1 🙂
Merci! J’essaie de ramener tout cela à la navigation orthodromique en mer….et démystifier leur formules sinus cosinus pour piger …..( beau voyage!)
Avec plaisir, et bon courage ^^!!