Dans cette vidéo, on va voir comment on peut résoudre une équation de la forme a*exp(2x) + b*exp(x) + c = 0.
Comment est-ce qu’on peut résoudre une équation de la forme a*exp(2x) + b*exp(x) + c = 0 ?
Alors pourquoi elle nous intéresse celle-là ? Parce que elle peut arriver naturellement dans pas mal d’exercices. Et ce qu’il va falloir reconnaître ici c’est comment est-ce qu’on peut résoudre ça ?
Le problème dans ce cas précis.
Alors normalement pour résoudre une équation avec des exponentielles on essaye de mettre ça sous la forme exponentielle de quelque chose égale exponentielle d’autre chose. Ou, exponentielle de quelque chose égale à une constante.
Mais tu vois qu’ici, ça va poser un problème puisque tu ne peux pas… C’est pas la même exponentielle qu’on a.
Le « truc » pour y arriver.
Par contre, tu peux reconnaître une chose, c’est que dans les formules que tu connais, tu sais que exponentielle de a exposant b, c’est égal à exponentielle de a fois b. Et donc ici exp(2x) c’est aussi exp(x)^2 !
Quand on réécrit l’équation en utilisant ça, on obtient : a*exp(x)^2 + b*exp(x) + c = 0 et ça c’est un intéressant parce que tu remarques que l’exponentielle x est là, et puis il est ici aussi.
Donc en gros on l’a une fois au carré et une fois pas au carré. Donc si on appelle ça X, ici on est de la forme a*X^2 + b*X + c = 0 ! D’accord ? Avec X = exp(x) !
Le domaine de résolution.
Bon, j’ai pas parlé du domaine de résolution ici puisque l’exponentielle ne pose aucun problème. Elle est définie pour R, donc le domaine de résolution c’est R.
Résolution de l’équation en X.
Maintenant on sait résoudre cette équation là : aX^2+bX+c = 0. On va faire Delta et puis on va déduire les solutions s’il y en a. D’accord on n’a pas forcément des solutions mais si on tombe sur a, b, c qui vont bien, on obtient des solutions.
Retour aux solutions de l’équation de départ.
A partir du moment où on a les solutions, si par exemple on a X1 et X2. Qu’est ce qu’on sait ? On sait que X1 c’est exp(x1) et X2 c’est exp(x2). Maintenant qu’on a ça, on peut donc en déduire x1 et x2.
Un exemple.
Alors je prends un exemple ça sera plus plus parlant que ça ! Donc si si je prends un exemple, je prends directement exp(x)^2 + exp(x) – 2 = 0.
On fait ce que je viens de dire… ça fait X^2 + X – 2 = 0. Et ça si on revient à la vidéo précédente, on sait que ∆ = 9 et que les racines sont X1=1 et X2=-2.
Voilà on a nos deux racines, maintenant on peut poser X1=exp(x1)=1 et X2=exp(x2)=-2. Alors là il faut faire très attention !
Est-ce que cette équation a une solution ? Non ! Est-ce que celle là en a une ? Oui ! Alors celle-là nous donne x1=ln(1) et ça vaut donc 0.
Peu importe, ça c’est pas très important, mais ça nous donne bien une solution. Maintenant la deuxième il faut faire attention : est-ce qu’on a une valeur de x pour laquelle l’exponentielle est négative? Pas de solution !
Ca n’existe pas car l’exponentielle est toujours positive. Donc la seule solution de l’équation ici c’est x=0. On peut vérifier si ces x vaut 0 on a 1 au carré puisque exp(0) vaut 1, et 1 au carré ça vaut 1, + 1 ça vaut 2, – 2 ça fait 0. Donc c’est bien une solution !
Attention donc aux nombre de solutions !
Donc ici tu as beau avoir trouvé 2 solutions à l’équation intermédiaire, celle après le changement de variable, ce qu’il faut c’est revenir aux variables de départ donc petit x1 et x2.
Ici on n’a pas de solution pour x2 donc a qu’une seule solution. D’accord ?
Donc quand tu veux résoudre une équation de la forme a*exp(2x) +b*exp(x) +c = 0 tu changes de variable, tu utilises X = exp(x), tu résous une équation en X, et ensuite tu reviens à petit x.
Attention, il n’y a pas forcément le même nombre de solutions entre l’équation en X et l’équation de x.
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