Dans cette vidéo, je vais te montrer comment résoudre des équations avec l’exponentielle.
Résoudre des équations avec l’exponentielle : comprendre sur des exemples type.
e^x = a
Alors on va regarder des équations assez simple du type e^x = a par exemple. L’équation la plus simple possible avec une exponentielle.
Comment on va résoudre ça ? On va utiliser le fait que la fonction réciproque est e^x c’est le logarithme népérien. Autrement dit, que ln (e^x) = x.
Donc c’est ça que ça veut dire fonction réciproque, c’est simplement quand on applique la fonction réciproque à la fonction d’origine, on retrouve x. Soit ln (e^x) = x.
Puisqu’on sait ça, on a une équation là haut, cette équation on la reprend c’est e^x = a, ça, ça équivaut à ln (e^x) = ln (a). Qu’est ce que j’ai fait ici ? J’ai tout simplement appliqué la fonction logarithme népérien des deux côtés puisque c’est une égalité.
Maintenant j’utilise ma formule que je connais, ici ln (e^x) = x et ici j’ai ln (a), ça ne va pas changer ln(a). C’est une valeur puisqu’on sait que le logarithme c’est une fonction comme une autre. Donc x = ln (a) est solution de e^x = a.
Et maintenant : e^(2x) – 3*e^(x) + 2 = 0.
Alors maintenant si on prend x, une équation un peu plus compliquée. par exemple e^(2x) – 3*e^(x) + 2 = 0. Là tu vois qu’on ne peut pas appliquer le logarithme directement.
Puisque ici, si on applique le logarithme, c’est le logarithme d’une somme et le logarithme d’une somme ça ne donne pas quelque chose qui nous intéresse. Donc ce qu’on va faire ici c’est on va remarquer quelque chose !
La première chose à remarquer c’est que e^2x c’est aussi (e^x)^2 – 3*e^(x) + 2 = 0. Et donc là si je mets en rouge e^x. Normalement il y a des choses qui devraient apparaître.
C’est que, en fait on a quelque chose au carré, moins quelque chose à l’exposant 1, plus une constante… Et ça c’est quelque chose qu’on sait résoudre.
Le changement de variable qui fait tout !
Tu vois que si je pose X = e^x, je dis bah ma nouvelle variable c’est e^x mais on va l’appeler X. L’équation, elle devient X^(2) – 3*X + 2 = 0. Bon, là c’est clair, on va résoudre avec un delta, delta ici vaut quoi, il vaut b^2, donc 9 – 4*1*2 =9 – 8, donc Δ= 1, racine de delta vaut 1 aussi…
Et les racines, on va trouver X₁ qui est égal à -b donc X₁ = (3 + 1)/2, racine de delta ça vaut 1 et X₂ = (3 – 1)/2. Donc ici ça vaut 1, ici ça vaut 4, ça vaut 2 pardon. Donc on deux racines ici pour X₁ et X₂.
Mais X₁ et X₂ c’est aussi e^x ! Donc ici on a X₁ = 2, c’est équivaut à e^x₁= 2 et donc c’est équivaut à x₁ = ln(2). Ça c’est d’après ce que j’ai écris juste avant à gauche ici, et de la même façon eh bien on trouverait x₂ = ln(1).
Alors ln(1) en plus on sait ce que ça vaut, ça vaut 0. Et si on vérifie ici par exemple on va vérifier ça. Pn va vérifier que si on met x = 0 elle serait x₂ ici. e^(2*0) = e^0, donc ça vaut 1 – 3 * 1 encore une fois donc 1 – 3 ça fait bien moins -2 + 2 = 0.
Puis on peut le faire avec ln(2), c’est là ln(2), ici c’est la même chose que e^ln(2), donc ça vaut 2^2 ça fait 4 – 3*e^ln(2) donc deux. Moins 3 x 2 donc 6. 4 – 6 – 2 + 2 = 0. Donc ça a bien fonctionné !
Résumé
Tu vois qu’on peut faire ça en plusieurs étapes, la première c’est celle de e^2x c’est le carré de l’exponentielle x. Ensuite c’est de poser une variable ici, ce que j’ai fait ici, X =e^x. Puis de résoudre le polynôme de degrés 2 qu’on sait résoudre.
Enfin on vérifie qu’une fois qu’on a des solutions pour le polynôme de degrés 2, on sait les retrouver sous la forme d’exponentielle. Tu vois que si on avait trouvé X₁ ou X₂ négatif, on n’aurait pas pu trouver de solution dans l’exponentielle ! Puisque le logarithme lui les définit que sur les valeurs positives, et que l’exponentielle est toujours strictement positive.
Voilà de manière générale, comment tu peux résoudre les équations qui font paraître l’exponentielle de x.
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