Dans cette vidéo, on va voir comment montrer que (O, u, v, w), c’est à dire le point O et les vecteurs u, v et w forment un repère de l’espace. On a vu un peu la même chose en 2D mais ici on veut le voir en 3D.
Qu’est-ce que ça veut dire si (O, u, v, w) est un repère de l’espace ?
Eh bien, ça veut dire que le point O est l’origine du repère. Ça, ça peut être n’importe quel point, il n’y a pas vraiment de conditions sur ça. Et ensuite tous les points de l’espace doivent pouvoir s’écrire comme une combinaison linéaire des trois vecteurs !
Autrement dit qu’ils peuvent « s’écrire » au + bv + cw. Alors qu’est ce que ça veut dire ça ? a, b et c ici, seront les coordonnées selon les trois axes.
Donc ça veut dire tu vas pouvoir prendre n’importe quel point de l’espace et atteindre ce point en faisant une combinaison de tous ces vecteurs.
La condition pour que ce soit possible ?
Cette condition est très importante : c’est que u, v et w ne sont pas coplanaires ! Il suffit que ces trois vecteurs ne soient pas coplanaires.
La chose importante que tu dois te rappeler, c’est que si n’as que deux vecteurs donnés, ces deux vecteurs sont nécessairement coplanaires. A partir du moment où tu mets un troisième, le troisième peut ne pas être coplanaire.
Maintenant si tu vois que u et v, ou v et w, ou u et w sont colinéaires, tu vois qu’en fait c’est comme si tu avais le même vecteur. Donc en fait il seront coplanaires.
Quand tu dis que les trois vecteurs ne sont pas coplanaires, ça implique déjà que deux à deux ils ne sont pas colinéaires.
Comment montrer que u, v et w ne sont pas coplanaires ?
Pour montrer qu’ils ne sont pas coplanaires, ce qui va falloir que tu fasses, c’est que tu montres que tu ne peux pas écrire un des vecteurs en fonction des deux autres.
Si les 3 sont coplanaires, tu peux écrire un vecteur en fonction des deux autres. Puisqu’ils sont dans le même plan, et que tes deux autres vecteurs vont permettre de définir le plan dans lequel ils existent. D’accord ?
Donc ce que tu dois faire ici : Montrer qu’il n’est pas possible d’écrire un vecteur fonction des deux autres. Voilà comment tu vas montrer que (O, u, v, w) est un repère de l’espace !
Il faut que tu montres qu’il n’est pas possible d’écrire un vecteur en fonction des deux autres. Alors comment tu vas faire ça ? Ici, les vecteurs u, v et w, tu vas avoir des valeurs pour ça, tu vas avoir leurs coordonnées, à quoi ils correspondent.
Le système d’équations.
Ce que tu vas faire, c’est que tu vas écrire tu vas écrire w égal a*u + b*v, d’accord. u et v, tu les connais et w tu le connais. Avec ça, tu es en 3D ici, ça va te donner trois équations :
Une équation en x, tu vas voir w_x = a*u_x + b*v_x, qui sont les coordonnées en x de u et v. Et tu vas avoir 3 équations de cette façon-là, puisque tu aura aussi la même chose avec y, et la même chose avec z.
Sachant que toutes tes vecteurs sont définis, et que t’as que deux inconnus ici ! Ces inconnus sont a et b. Si tu arrives à une solution, eh bien, c’est que les vecteurs sont coplanaires…
Le cas que tu veux voir.
L’idée ici, si tu veux montrer qu’ils ne sont pas coplanaires, c’est d’arriver à montrer que l’équation en x va te donner des valeurs de a et b qui ne sont pas cohérentes avec les deuxièmes.
Par exemple, tu auras 3 équations, tes premières équations te permettent de définir a et b, puisque tu as deux équations deux inconnus. Maintenant tu prends a et b et tu les injectes dans la troisième, et normalement tu dois arriver à une absurdité.
C’est à dire que tu vas trouver que w_z n’est pas égal a*u_z + b*v_z. C’est ce qui te permettra de dire que tu ne peux pas écrire w en fonction de u et v.
Et comme tu ne peux pas écrire w en fonction de u et v, les vecteurs u, v, et w ne sont pas coplanaires !
Puis comme ils ne sont pas coplanaires (O, u, v, w) sera bien un repère de l’espace !
Voilà comment tu peux montrer que un point et trois vecteurs de l’espace forme un repère de l’espace.
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J’ai besoin d’une confirmation vecteur u, v, w ne sont pas forcément perpendiculaire à l’origine O ?
Tout à fait, ils n’ont pas besoin de l’être. S’ils le sont alors on dit que le repère est orthogonal, et si en plus u, v et w ont la même norme alors il est orthonormé.