Dans cette vidéo on va voir comment diviser 2 nombres complexes sous forme algébrique. là encore, on va utiliser un premier nombre complexe et un deuxième x’+iy’, x, y et x’, y’ appartenant à R.
Et ce qu’on va regarder c’est z/z’. Alors à quoi c’est égal ? On prend juste ça : x+iy /x’+iy’. Encore une fois, ce qu’on veut ici quand je dis calculer la division des deux, c’est de retomber sur un nombre complexe.
Autrement dit, on veut savoir ce qu’est la partie réelle de cette division et la partie imaginaire. Ici le problème qu’on a c’est qu’on a du i au dénominateur. Et ça c’est un problème qu’on va rencontrer souvent avec les complexes !
L’astuce pour virer le i au dénominateur !
Donc je veux que tu retiennes une chose importante : quand tu as un nombre complexe sous forme algébrique comme ça (partie réelle plus i partie imaginaire au dénominateur) il faut que tu penses directement à multiplier par le conjugué !
Donc ce qu’on va faire ici c’est multiplier par le conjugué. Donc on va avoir x+iy, évidemment le conjugué de celui qui est au dénominateur, c’est à dire x’-iy’. Et là, on va diviser par x’+iy’ facteur de x’-iy’.
Alors pourquoi on fait ça ? Parce que je t’ai dit dans la vidéo sur les conjugués, c’est que quand on multiplie un nombre complexe par son conjugué, on obtient le module au carré, autrement dit y a plus de i !
Diviser 2 nombres complexes sous forme algébrique ? C’est costaud !
Donc ça si on fait ça, qu’est ce qu’on obtient ? En haut on va développer, en regarde en bas déjà. En bas on va obtenir (x’)^2 + (y’)^2. Tu vois qu’ici ça c’est un nombre, c’est un réel. Ce n’est rien d’autre, donc ça pose plus aucun problème !
En haut, eh bien il n’y a plus qu’à multiplier et diviser, enfin c’est beaucoup de calculs, mais globalement on va obtenir xx’ – iy’x + iyx’ – i^2 yy’. Donc là, il n’y a plus qu’à faire le calcul ! Ça c’est du calcul ennuyeux mais pas très compliqué normalement si tout va bien. Le i, on va garder ça en facteur.
Ici on avait -i^2 yy’, donc ça, ça va faire +yy’, d’accord ? Ça, ça va être notre partie réelle, et puis on va factoriser par i, +i, donc ici on a x y x’ – y’ x, d’accord ? Et le tout divisé par (x’)^2 +(y’)^2.
Ce qu’il faut retenir…
Alors ici les calculs on s’en moque un peu, ce que je te demande c’est que tu peux le faire. La seule chose que tu as vraiment à retenir c’est cette chose-là, on multiplie par le conjugué !
Alors évidemment on veut pas changer la fraction, donc comme toujours si on multiplie le dénominateur, on multiplie aussi le numérateur. Donc en gros ça revient à multiplier par 1 ici, mais ce qu’on veut c’est faire apparaître ce conjugué ici.
Parties réelles et imaginaires de la division entre 2 nombres complexes ?
Ça nous permet d’avoir un réel en bas et donc à partir de là, qu’est ce qu’on obtient ? On obtient partie réelle de (z/z’) qui est égal à quoi ? Qui est égal à (xx’ + yy’) / (x’)^2 + (y’)^2. Même chose avec la partie imaginaire, une partie imaginaire de (z/z’), ça va être égal à (yx’ – y’x) divisé par la même chose, (x’)^2 + (y’)^2, d’accord ?
Ça veut dire qu’on connaît la partie réelle et la partie imaginaire, donc on connaît le nombre complexe qui correspond à la division de deux nombres complexes !
Alors tu vois qu’ici quand on le fait sous forme algébrique, ça c’est compliqué, dans la prochaine vidéo on va le faire sous forme exponentielle. Et ça va devenir beaucoup plus simple !
Mais ici ce qui est important c’est ce que j’ai encadré en rouge, c’est la seule chose que tu dois retenir. À chaque fois que tu vas avoir au dénominateur un nombre complexe, et que tu veux faire un calcul et obtenir à la fin une partie réelle et une partie imaginaire, la technique qu’il faut retenir c’est de multiplier par le conjugué.
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