Dans cette vidéo, on va voir comment dire si f est convexe ou concave à partir de la courbe représentative de sa dérivée première, donc de f’.
Convexe ou Concave ? Décidons à partir de la courbe de la dérivée !
Allons-y, on va regarder la convexité de f à partir de Cf’. C’est un lien qu’il faut que tu saches faire. Déjà, on connaît les liens d’un point de vue mathématique, il faut savoir les traduire d’un point de vu graphique.
Traçons une courbe pour la fonction f, et on va tracer la courbe représentative de la fonction f’. Par exemple, f’ peut être comme ceci, puis comme ça, et enfin comme ceci.
Lien entre convexité et fonction dérivée.
Puis, on va se rappeler du lien ici qu’il y a entre les deux. On a dit : f’ croissante implique f convexe. Et donc f’ décroissante, nécessairement implique f concave. Voici le lien qu’il faut que tu aies toujours en tête : le lien entre f’ et f !
Au cas où tu t’en rappelles pas et que tu te rappelles que celui de f » : f » positive et f convexe, donc f » positive et f » c’est la dérivée de f’, si la dérivée est positive alors la fonction est croissante, donc f’ est croissante !
Sur le graphe.
Qu’est ce qu’on va faire ? On va regarder sur quel endroit la courbe f’ est croissante ! Elle est croissante ici, on monte ici jusqu’à un point qui est dans ces environs-là.
Ensuite, elle est décroissante jusqu’à un point qui est dans ces environs là. Et ensuite, elle est décroissante. Donc sur cet intervalle ici, f’ est croissante.
Si f’ est croissante alors f est convexe on a dit. Sur cet intervalle-ci, f’ est décroissante. Donc il faut savoir regarder la décroissance d’une fonction, mais ça tu sais le faire, c’est assez naturel, donc f est concave.
Enfin sur le dernier intervalle, f’ est croissante à nouveau, donc f est convexe. Autrement dit, quand tu veux regarder la convexité de la fonction f à partir de la courbe représentative de sa dérivée, ce que tu dois regarder c’est le sens de variation de la dérivée.
Sur la partie où la dérivée est croissante alors f est convexe. Là où la dérivée est décroissante, f est concave. Voilà comment tu peux trouver si une fonction est convexe ou concave à partir de sa dérivée.
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