Dans cette vidéo, on va voir comment déterminer graphiquement l’espérance d’une loi normale.
Le cadre.
D’accord, on va considérer une loi normale de paramètres µ et sigma^2. Comme toujours, µ c’est l’espérance, sigma c’est l’écart type et sigma carré la variance.
Et donc on va regarder graphiquement ce qui se passe pour essayer de déterminer µ graphiquement. C’est ça qui est important ici, d’accord. Donc on va voir la courbe représentative de cette loi et on veut déterminer µ.
La courbe représentative de la loi normale.
Alors à quoi ça ressemble à une loi normale, ça ressemble toujours à la même chose, c’est ça qui est magique ! Ça ressemble à une cloche.
Alors la cloche elle peut être n’importe comment ou presque. Donc une loi normale ça vaut 0 en -∞… Et la représentation de la fonction de densité, c’est de ça que je parle quand je dis la « loi normale ».
C’est la représentation de la fonction de densité qui arrive de zéro et repart à zéro dans les deux infinis, et entre deux elle fait une cloche. Alors je vais essayer de la faire le plus proprement possible !
Comment déterminer graphiquement l’espérance d’une loi normale ?
Voilà la représentation d’une loi normale, par exemple. Cette fonction, la fonction de densité de la loi normale c’est une fonction qui est symétrique, d’accord. Par rapport à l’axe x=µ.
Donc graphiquement, qu’est-ce que tu vas faire ? Tu vas chercher l’axe de symétrie ! A quel endroit… Alors là tu vois que c’est pas tout à fait sur l’axe gris, mais on va dire que globalement c’est ici qu’elle est symétrique.
J’entends par là que si tu fais passer un axe ici, tu as symétrie entre les deux parties de la fonction. Graphiquement ça se reconnaît assez facilement, tu peux trouver sur un graphique qui est proprement donné, ce qui n’est pas le cas quand je le dessine à la main.
Mais quand il est proprement donné, tu peux facilement voir où est le maximum !
En résumé…
En gros, tu vas chercher le maximum de ta fonction ici, tu regardes son abscisses. Eh bien, son abscisse c’est µ !
D’accord donc si tu veux déterminer graphiquement l’espérance d’une loi normale, tu vas simplement chercher le maximum de la fonction de densité.
Donc ça c’était une densité possible, suivant l’écart type et suivant µ, tu peux avoir quelque chose de différent. C’est à dire, tu pourrais avoir quelque chose comme ça, et puis qui d’un coup par très très droit comme ça et hop, vient se retasser.
Là encore ça ne change absolument rien à ce que tu dois faire, donc (c’est censé être symétrique) ici tu l’as cherché ton maximum. Ok le maximum est là, alors la valeur de µ de cette loi rouge elle est ici.
Autrement dit, l’espérance de la loi normale c’est l’abscisse du point maximum de la fonction de densité.
Et graphiquement c’est donc très facile de trouver l’espérance d’une loi normale.
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