Dans cette vidéo, on va voir comment calculer le point d’intersection entre 2 droites en 2D.
Déjà, on a dit les droites en 2D, on les écrit sous la forme ax + by + c = 0. Et puis une autre qui va être dx +ey +f = 0. Là, on a deux droites d’accord ? Ça représente deux droites qui peuvent s’intercepter ou non d’ailleurs.
Ici par exemple si on appelle ça (D’) et puis ici (D), on peut avoir (D) ici et puis (D’) ici. Ce qui va nous intéresser c’est de trouver le point d’intersection s’il y en a un.
Comment trouver, ou calculer les points d’intersection entre les droites (D) et (D’) en 2D ?
Eh bien on va résoudre l’équation ici, et puis qu’est ce qu’on connait? Si on connaît les droites, on connaît a b c. C’est à dire si on connaît la droite (D), abc sont fixés. Si on connaît la droite (D’), d e et f sont fixés. Alors qu’est ce que ça nous dit ?
Ça nous dit que les seules inconnues ici c’est x et y, ok ? Donc là, on a deux inconnus qui sont x et y, et on a deux équations qui sont les équations de (D) et (D’). D’accord ?
C’est les seules inconnues qu’on a et les deux équations. Donc on a bien deux équations et deux inconnus, donc on peut essayer de résoudre le système ! Maintenant on va avoir trois cas, alors quelles sont ces trois cas ?
Les 3 cas possibles :
Aucune solution…
Soit on n’a aucune solution : qu’est ce qu’on va en déduire ? Bah si on n’a pas de solution c’est à dire qu’on n’a pas de point d’intersection ! Si on n’a pas de point d’intersection, ça veut dire que les droites sont parallèles. (D) est parallèle à (D’).
Une seule solution.
Soit on a une seule solution, et dans ce cas là, on connaît le point d’intersection. C’est le point d’intersection.
Une infinité de solutions.
Soit on a une infinité, ici une infinité de solutions et ça, ça veut dire quoi ? Eh bien ça veut simplement dire que (D) = (D’). C’est à dire qu’on a les deux droites sont les mêmes. Même si on les a peut-être écrites différemment, d’accord ?
En résumé :
Quand tu vas chercher un point d’intersection entre deux droites, ce que tu vas faire, c’est simplement résoudre le système ici à deux équations et deux inconnus. Et comment on fait ça ?
Comme d’habitude, par exemple par combinaison. On multiplie une des deux équations de telle sorte que quand on les somme, eh bien les x disparaissent. Et il nous reste y, on résout y et ensuite on réinjecte y dans l’équation et on trouve x.
Ou bien par substitution, on prend la première équation, on écrit x ou y en fonction de l’autre. C’est à dire on écrit x est égal à quelque chose en fonction de y. On réinjecte c’est à dire on remplace x dans la 2ème équation par cette formule en fonction de y.
On n’a donc plus qu’une seule équation avec y, et on trouve y. Une fois qu’on a trouvé y, on trouve x en réinjectant au départ. Donc ça c’est simplement de la résolution d’un système de deux équations à deux inconnues.
Suivant les solutions que tu obtiens, eh bien t’en déduis ce qui t’intéresse. Soit il y a le point d’intersection que tu cherchais, soit il n’y a pas de point d’intersection et donc les deux droites sont parallèles, soit y a une infinité de points d’intersection, autrement dit les deux droites sont confondus.
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