Comment calculer l’angle entre 2 vecteurs grâce à leurs affixes ?

Dans cette vidéo, on va voir comment calculer l’angle entre 2 vecteurs grâce à leurs affixes.

Le cadre.

On prend un vecteur u d’affixe z, et un vecteur v d’affixe z’. Et je vais en profiter pour dessiner ça dans un repère. On va se simplifier la vie ici, puisque c’est des vecteurs, on peut les positionner n’importe où, on va les ramener au centre. Donc ici on va avoir un vecteur v par exemple, et puis un vecteur u.

Je te conseille de retenir ce dessin parce que si tu as besoin de retrouver la formule pendant le contrôle, ça va être le dessin le plus simple ! Ça, on va dire c’est le vecteur v, et ça on va dire c’est le vecteur u. Et on va dire que u est d’affixe z et v d’affixe z’.

Argument de z

Donc cet angle ici c’est bien argument de z. Si t’as retenu ce qu’est l’argument d’un nombre complexe, le nombre complexe est ici, en fait le point que j’ai tracé ici ça correspond au point d’affixe z, et on peut aussi lui associer le vecteur u que j’ai tracé ici qu’est donc entre l’origine et ce point là.

Argument de z’

De la même façon ici, on va avoir argument de z’. Exactement pour les mêmes raisons. Donc là, on a deux angles et nous l’angle qui nous intéresse c’est l’angle d’entre u et v.

Notons ça θ, et θ c’est l’angle qui nous intéresse. C’est l’angle qui est formé entre le vecteur u et le vecteur v. Donc c’est celui qu’on veut calculer.

Comment calculer l’angle entre 2 vecteurs grâce aux affixes ?

Et ici, on veut le calculer en fonction des affixes. Donc cet angle-là et c’est là où il faut faire attention parce qu’il y a une question de signe à retenir, tu vois que c’est un angle moins un autre angle.

Alors, l’angle rouge ici c’est bien l’angle qui est donné par l’argument z’, moins cet angle ici. Par conséquent,  cet angle-là ce n’est rien d’autre que argument de z’ moins argument de z.

Donc retiens ce dessin parce que c’est là où tu peux retenir ça, c’est la façon la plus simple !

Maintenant, tu te rappelles de la formule qui te donne ça, eh bien ça c’est argument de z’/z, d’accord ? On l’a vu dans une vidéo précédente, arg(z’/z) c’est arg(z’)-arg(z).

Donc maintenant, tu vois que l’angle qu’on cherche θ, eh bien c’est l’argument de (z’-z). Où Z’ et Z c’est bien les affixes des deux vecteurs qui nous intéressent.

Et dans le cadre général ?

Ça c’était le cadre générique. Si tu retiens ça, t’as à peu près tous retenus, et maintenant il faut juste savoir l’appliquer dans un cadre un peu différent !

Au lieu d’avoir u et v, on va regarder AB et par exemple, CD. Donc si tu veux regarder l’angle entre le vecteur AB et le vecteur CD, ici t’avais u et v, l’affixe de u c’est celle qui se retrouvait en bas.

Même chose ici, l’affixe du vecteur AB va se retrouver en bas, l’affixe du vecteur CD va se retrouver en haut. Donc ça c’est argument de l’affixe du vecteur CD.

Pour l’instant, je vais le noter comme ça, et puis après on va voir ce que c’est, là sur l’affixe du vecteur AB. Affixe du vecteur CD, on a dit ce n’est rien d’autre que affixe de D moins affixe de C. Au final on a arg(zD -ZzC / zB -zA). Et donc là, t’as la formule générale !

En gros, tu as deux vecteurs définis par quatre points, et tu sais retrouver l’angle entre ces deux vecteurs grâce à l’affixe de ces quatre points. Pour faire ça, attention, la meilleure façon de faire à mon avis c’est de se rappeler de ce que j’ai fait juste avant.

C’est à dire l’écrire dans le cadre le plus simple possible, avec deux affixes pour deux vecteurs, et les arguments qui t’intéressent. Donc là, c’est une formule qui est pas super fun à apprendre. Donc plutôt que de l’apprendre, je t’invite à savoir à la retrouver pour être sûr le jour du contrôle que tu fais les bonnes choses.

Voilà comment tu peux calculer l’angle entre deux vecteurs grâce à leurs affixes !

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