Dans cette vidéo, je vais donner une méthode pour calculer la dérivée d’une division de fonctions, sans avoir à l’apprendre par cœur.
Si on prend une fonction f et une fonction g et qu’on regarde la dérivée de f(x)/g(x). Ce qu’on a vu dans la vidéo précédente c’est que ça ça vaut f'(x) g(x) – f(x) g'(x) le tout divisé par g(x)^2.
Comment s’en rappeler sans avoir à se rappeler du fameux u’v… Donc on (u/v)’ qui est égal à (u’v – uv’)/v^2. Si on ne veut pas se rappeler de cette formule, il y en a une autre qu’on connaît ! C’est la multiplication de deux fonctions.
Calculer la dérivée d’une division de fonctions… à partir de celle d’une multiplication !
Donc (uv)’, on a dit c’est u’v+uv’. Donc là qu’est ce qu’on peut remarquer? On peut remarquer que f/g c’est aussi f * 1/g. Et ça devient donc une multiplication entre deux fonctions.
Si je change le nom de cette fonction là et que je dis que ça c’est f*h, où h=1/g. Qu’est ce qu’on obtient ? On obtient la dérivée de f*h, la dérivée c’est f’h + fh’.
On regarde, bon f et f’ ici on a ce qu’on veut. Maintenant on regarde qu’est ce que c’est h(x), on a dit h(x) c’est 1/g(x). Quelle est la dérivée de 1/g(x) ?
Donc ça on le verra dans des vidéos futur c’est -g'(x)/g(x)^2. Maintenant si on remplace ici h et h’ parce que ça on voit, on va avoir f’ * 1/g + f * (-g’/g^2).
Tout ça, maintenant il faut le mettre au même dénominateur c’est un peu compliqué mais on va y arriver. Ici le dénominateur c’est g^2, donc si on veut avoir g^2 ici, on va multiplier en haut et en bas, donc on va obtenir f’g / g^2 + f * (-g’) donc (f’g -fg’)/g^2.
Voilà on retombe sur la formule en utilisant la formule de la dérivée d’une multiplication ! Alors c’est pas hyper simple, c’est pas super naturel mais on peut le faire si on veut pas avoir à apprendre. Ou si on n’est plus tout à fait sûr de la formule.
Donc voilà ça la deuxième méthode pour calculer la dérivée d’une division de fonctions… En utilisant la dérivée d’une multiplication qui elle, elle est bien plus simple.
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