Dans cette vidéo, on va voir comment tu peux trouver une primitive d’un produit de la forme u’*e^u.
Ce qui nous intéresse ici c’est d’avoir quelque chose de la forme u'(x) que multiplie e^u(x). Alors évidemment, la partie difficile sera de reconnaître cette forme là.
Toujours la même base !
Quand on a quelque chose comme ça, eh bien on repart de la base. La base c’est ce qu’on sait sur les dérivées. Donc on sait que (e^x), quand le dérive, on obtient simplement e^x. C’est la seule fonction qui quand on la dérive, retombe sur elle même.
Si maintenant, la deuxième chose qu’on sait c’est que f(u(x)), on peut l’écrire comme on veut mais, peu importe ici, quand on dérive une fonction composée, c’est ça que ça veut dire ici, eh bien ça va faire u'(x) que multiplie f'(u(x)), d’accord ? Ça c’est les deux choses.
On combine pour trouver une primitive du produit u’*e^u.
Maintenant, si on combine ça et ça, qu’est ce qu’on obtient ? On obtient que e^u(x) qui est donc la même chose que ce que j’ai écris ici si j’avais mis f, que la fonction f est la fonction exponentielle, eh bien on va obtenir u'(x) que multiplie la dérivée de l’exponentielle qui est elle-même prises en u(x), donc e^u(x), d’accord.
Si cette fonction-là, eh bien je l’appelle g(x), alors une primitive de cette fonction c’est simplement e^u, e^u(x). Donc une primitive de u’ * e^u c’est e^u.
Et on applique ça sur un exemple !
Donc pareil si tu veux faire ça dans un exo, t’as ta fonction par exemple la fonction, on va l’appeler h, h(x) égal par exemple, on va voir la fonction sin(x) * e^cos(x), c’est une fonction comme une autre, ici on a une multiplication et ici on a l’exponentielle de cos(x).
Ce qu’il faut reconnaître ici : comment tu vas pouvoir trouver une primitive de cette fonction là ? Eh bien il faut reconnaître les fonctions que t’as ici.
Donc là tu as la fonction exponentielle, exponentielle de quelque chose ici, d’accord ? Donc ça c’est déjà quelque chose qui est de la forme e^u(x) avec u(x) qui est égal à cos(x). Donc si u(x)=cos(x), que vaut u'(x) ?
La dérivée de cosinus c’est -sin(x), d’accord ? On dérive vers la droite dans le cercle trigo. Ici qu’est ce qu’on a ? On a quelque chose qui est de la forme -u'(x), puisqu’on a cosinus et pas moins sinus, e^u(x).
Eh bien ça c’est rien d’autre que moins la forme qu’on avait ici : u’ e^u. Donc une primitive possible, ça va être H(x) qui est égal à moins une primitive de cette chose-là.
Cette chose là c’est quoi ? C’est -(e^u(x)) on a dit la primitive ou une primitive. Maintenant, u(x) on a dit c’est cos(x), donc H(x) c’est -e^cos(x). -e^cos(x) c’est bien quelque chose qui est de la forme -e^u.
Quand on va dériver, ça va faire -u’ * e^u. Autrement dit, u’ c’est -sin, donc -u’ ça fait bien sin(x) * e^cos(x). Et donc on retombe bien sur la fonction qu’on avait ici.
Voilà comment tu peux trouver une primitive d’une multiplication de fonctions qui est sous la forme u’*e^u.
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